Задачи на работу

Задачи на работу  решаются с помощью одной-единственной формулы:

РАБОТА = ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ х ВРЕМЯ

Здесь A — работа, t — время, а величина p, которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность. Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени. Например, Вася красит забор. Количество метров, которые он красит за час — это и есть его производительность.

Правила решения задач на работу:

1. А = р∙t, из этой формулы легко найти t или p.

2. Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу. Построен дом (один), покрашен забор (один), наполнен резервуар. А вот если речь идет о количестве кирпичей, количестве деталей, литрах воды —  работа как раз и равна этому количеству.

3. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два мастера, Даша и Маша...) или трое (не важно) — их производительности складываются. Очень логичное правило.

4. В качестве переменной х удобно взять (в абсолютном большинстве задач) именно производительность. Так же, как в задах на движение мы за х принимаем скорость.

Рассмотрим задачи:

Заказ на 240 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Как и в задачах на движение, заполним таблицу.

В колонке «работа» и для первого, и для второго рабочего запишем: 240. В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем её  за х. Тогда производительность первого рабочего равна  х + 1 (он делает на одну деталь в час больше).

Поскольку t = A/p,  время работы первого рабочего равно  t₂ = 240/(х + 1),  время работы второго равно t₂ = 240/х.

Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно, времени он затрачивает на 1 час меньше, чем второй, то есть t₁   на 1 меньше, чем t₂,  значит

Мы уже решали такие уравнения. Оно легко сводится к квадратному:

Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной величиной.  Значит, отрицательный корень не подходит.

Ответ: 15

ЗАДАЧА

На изготовление 40 деталей первый рабочий затрачивает на 6 часов  меньше, чем второй рабочий на изготовление 70 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Данная задача практически не отличается от предыдущей, разница лишь в объёме работы. Примем производительность второго рабочего за х.

Тогда производительность первого рабочего равна х + 3 (он делает  в час  на три детали больше).  Заполним графу «время» в таблице:

Сравнение будем проводить по времени. Сказано, что первый затрачивает на 6 часов меньше, чем второй. Значит,

Таким образом, второй рабочий в час делает 8 деталей.

Ответ: 8

ЗАДАЧА

Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 192 литра она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба?

Примем производительность первой трубы за (литров в минуту). Тогда производительность второй трубы равна . Работа это объём резервуара – 192  литра.

Заполним графу «время» в таблице:

Первая труба заполняет резервуар на 4 минуты дольше, чем вторая. То есть времени уходит больше

Первая труба в минуту пропускает 12 литров.

Ответ: 12

ЗАДАЧА

Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 19 часов. Через 1 час после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

Сразу отметим, что производительность каждого рабочего 1/19 (заказа в час). Заказ это работа, она равна 1. Пусть х это время совместной работы. Тогда один работал х часов,  другой  х + 1.

Заполним графу «работа» для каждого:

Сумма сделанных ими объёмов работы составляет всю работу, равную 1.

Совместно рабочие работали 9 часов.

Значит, на весь заказ ушло 9 + 1 = 10 часов.

Можно выстроить рассуждение таким образом:

В условии сказано, что рабочий может выполнить заказ за 19 часов, то есть его производительность равна 1/19 заказа в час. Значит, за первый час один рабочий выполнит 1/19 заказа.

Получается, что на двоих останется 1– 1/19 = 18/19 заказа.

Далее они работают  вдвоём, значит, на каждого из рабочих придётся (18/19):2 = 9/19заказа, так как их производительность  одинаковая.

Имеем: рабочий выполняет 1/19 заказа в час,  значит, 9/19 заказа  он выполнит за 9 часов, то есть совместно они будут работать 9 часов.

Таким образом, на выполнение всего заказа потребуется 9 + 1 = 10 часов.

Ответ: 10

ЗАДАЧА

Один мастер может выполнить заказ за 36 часов, а другой — за 12 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

Пусть х это время, за которое мастера выполнят работу вместе.

Производительность первого 1/36 (заказа в час), второго 1/12 (заказа в час),  этот  вывод мы сделали из условия задачи.

При совместной работе производительности складывают:

Оба мастера выполнят заказ за 9 часов.

Ответ: 9

ЗАДАЧА

В помощь садовому насосу, перекачивающему 9 литров воды за 4 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 6 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 30 литров воды?

Сразу,  исходя из условия, можно определить производительности насосов:  у первого 9/4 (литра в минуту), у второго 9/6 (литра в минуту).

Пусть совместно они будут работать х  минут. 

Насосы совместно должны работать 8 минут.

Ответ: 8

ЗАДАЧА

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 12 вопросов теста, а Ваня — на 20. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 90 минут. Сколько вопросов содержит тест?

В данной задаче производительности даны: у Пети 12 (вопросов в час), у Вани 20. Количество вопросов это и есть работа, принимаем за её за х.

В таблице заполним графу «время»:

Конечно же, сравнение будем проводить по времени.

Петя закончил свой тест на 90 минут позже Вани, то есть Петя затратил больше времени. Не забываем перевести минуты в часы: 90 минут это 1,5 часа.

Тест содержит 45 вопросов.

Ответ: 45