Блог репетитора по математике Елены Павловны Ширшовой: Текстовые задачи на среднюю скорость

При решении задач на среднюю скорость важно знать:

Средняя скорость — есть отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени.

Если половину всего времени объект двигался со скоростью $V_{1}$ , а вторую половину времени со скоростью $V_{2}$ , то средняя скорость $V$ ср находится как среднее арифметическое

Действительно, если обозначить все время за t, то
$V$ ср $=\frac{V_{1}\frac{t}{2}+V_{2}\frac{t}{2}}{t}=\frac{\frac{t}{2}(V_{1}+V_{2})}{t}=\frac{V_{1}+V_{2}}{2}$

Если половину всего пути объект двигался со скоростью $V_{1}$ , а вторую половину пути со скорость $V_{2}$ , то находить среднее арифметическое скоростей нельзя!
Действительно, если обозначить весь путь за S, то
$V$ ср $=\frac{S}{\frac{\frac{S}{2}}{V_{1}}+\frac{\frac{S}{2}}{V_{2}}}=\frac{S}{\frac{S}{2}(\frac{1}{V_{1}}+\frac{1}{V_{2}})}=\frac{2V_{1}V_{2}}{V_{1}+V_{2}}$

Рассмотрим примеры.

Задача 1

Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Чтобы найти среднюю скорость на всем пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть t часов — полное время движения автомобиля, тогда средняя скорость равна:
$V=\frac{V_{1}\frac{t}{2}+V_{2}\frac{t}{2}}{t}=\frac{74+66}{2}=70$ км/ч.

Задача 2

Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час – со скоростью 100 км/ч, а затем два часа – со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Чтобы найти среднюю скорость на всем пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Тогда
$V=\frac{2\cdot 50+1\cdot 100+2\cdot 75}{2+1+2}=70$ км/ч.

Задача 3

Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть — со скоростью 120 км/ч, а последнюю — со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Чтобы найти среднюю скорость на всем пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть S км — весь путь автомобиля, тогда средняя скорость равна:

$V=\frac{s}{\frac{\frac{S}{3}}{V_{1}}+\frac{\frac{S}{3}}{V_{2}}+\frac{\frac{S}{3}}{V_{3}}}=\frac{3}{\frac{1}{60}+\frac{1}{120}+\frac{1}{110}}=\frac{3\cdot 120\cdot 11}{22+11+12}=88$ км/ч.

Страницы

суббота, 22 марта 2014 г.