Действия с алгебраическими дробями

Казалось бы, алгоритм очевиден.

Чтобы сократить алгебраические дроби, нужно

1. Разложить числитель и знаменатель дроби на множители.

2. Сократить одинаковые множители.

Однако, школьники часто делают ошибку, «сокращая» не множители, а слагаемые. Например, есть любители, которые в дроби «сокращают» на  и получают в результате , что, разумеется, неверно.

Рассмотрим примеры:

1. Сократить дробь: 

1. Разложим на множители числитель по формуле квадрата суммы, а знаменатель по формуле разности квадратов

2. Разделим числитель и знаменатель на 

2.  Сократить дробь: 

1. Разложим на множители числитель. Так как числитель содержит четыре слагаемых, применим группировку.

2. Разложим на множители знаменатель. Так же применим группировку.

3. Запишем дробь, которая у нас получилась и сократим одинаковые множители:

Умножение алгебраических дробей.

При умножении алгебраических дробей мы числитель умножаем на числитель, а знаменатель умножаем на знаменатель.

Важно! Не нужно торопиться выполнять умножение в числителе и знаменателе дроби. После того, как мы записали в числителе произведение числителей дробей, а в знаменателе – произведение знаменателей, нужно разложить на множители каждый множитель и сократить дробь.

Рассмотрим примеры:

3. Упростите выражение:

1. Запишем произведение дробей: в числителе произведение числителей, а в знаменателе произведение знаменателей:

2. Разложим каждую скобку на множители:

Теперь нам нужно сократить одинаковые множители. Заметим, что выражения  и  отличаются только знаком: и в результате деления первого выражения на второе получим -1.

Итак, 

Деление алгебраических дробей мы выполняем по такому правилу:

То есть чтобы разделить на дробь, нужно умножить на «перевернутую».

Мы видим, что деление дробей сводится к умножению, а умножение, в конечном итоге, сводится к сокращению дробей.

Рассмотрим пример:

4. Упростите выражение:

Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби:

Получим:

Итак, 

Сложение алгебраических дробей.

Мы умеем складывать дроби с одинаковым знаменателем: при сложении дробей с одинаковым знаменателем, знаменатель остается тем же, а числители складываются:

А еще мы знаем основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то значение дроби не изменится.

То же относится к алгебраическим дробям: мы можем умножать и делить числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение. (При этом не забываем про ОДЗ).

Значит, если мы складываем две дроби с разными знаменателями, мы можем сделать так, чтобы знаменатели этих дробей стали одинаковыми, то есть привести дроби к общему знаменателю.

Сначала рассмотрим алгоритм приведения к общему знаменателю числовых дробей, а затем обобщим его на случай алгебраических.

Пример 1:

Найти значение выражения:

1. Найдем общий знаменатель. Для этого нам нужно найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей (НОК(135; 63;75)), то есть найтисамое маленькое число, которое  делится на знаменатель каждой дроби.

Если знаменатели дробей взаимно простые числа, то есть не имеют общих делителей, кроме числа 1 (например, числа 9 и 4), то общий знаменатель равен произведению знаменателей. Но это не наш случай.

Первый,  самый главный шаг, который мы делаем, чтобы найти общий знаменатель -

раскладываем на простые множители знаменатель каждой дроби:

Общий знаменатель равен произведению множителей, входящих в состав знаменателей каждой дроби, взятых в наибольшей степени.

То есть общий знаменатель равен

2. Найдем дополнительные множители.

Дополнительный множитель – это число, на которое нужно умножить знаменатель дроби, чтобы получить общий знаменатель. (Напомню,  что при приведении дробей к общему знаменателю, мы числитель и знаменатель дроби умножаем на это число.

3. Умножим числитель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:

4. Найдем значение получившейся дроби:

Применим этот алгоритм для приведения к общему знаменателю алгебраических  дробей.

Пример 2.

Упростить выражение:

1. Разложим знаменатель каждой дроби на множители:

Заметим, что . Вынесем за скобку знак «-» в знаменателе последней дроби:

2. Запишем общий знаменатель. Он равен произведению множителей, входящих в состав знаменателей каждой дроби, взятых в наибольшей степени.

3. Найдем дополнительные множители. Дополнительный множитель – это выражение, на которое нужно умножить знаменатель дроби, чтобы получить общий знаменатель.

4. Запишем произведение числителя каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:

Не стоит пропускать это действие и сразу начинать умножать числители на дополнительные множители – это может привести к появлению ошибок.

5. Упростим выражение в числителе получившейся дроби – раскроем скобки и приведем подобные члены.

Заметим, что перед произведением двух последних скобок стоит знак «-». В этом случае, чтобы не ошибиться со знаками, лучше разделить это действие на два: сначала перемножить скобки, заключив полученное выражение в скобки, а затем раскрыть скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные:

Теперь приведем подобные члены. Подобные члены – это одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть.

Чтобы привести подобные члены, мы должны сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Выделим подобные члены одинаковым цветом.Итак,